Olá a todos!
Sejam bem vindos a este projeto de aulas virtuais na disciplina de matemática para o 9º ano. Espero que todos estejam bem e ansiosos por aprender mais dessa ciência tão fascinante.
Neste primeiro momento, gostaria de recapitular os conjuntos numéricos, que já foram vistos em sala de aula, e devem ser bem assimilados, para assim, efetivarmos a continuidade no aprendizado.
Deixo abaixo, um roteiro de atividades, com aulas explicativas em video, e após, um questionário de avaliação, para vocês responderem e testarem seus conhecimentos.
Vamos lá?
REVISÃO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
Subconjuntos dos Números Naturais
- N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
- Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
- Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):
Subconjuntos dos Números Inteiros
- Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.
- Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.
- Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
- Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.
- Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
Subconjuntos dos Números Racionais
- Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
- Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.
- Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.
- Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
- Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.
Subconjuntos dos Números Reais
- R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
- R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
- R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
- R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
- R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
Vídeos de apoio
Abaixo, apresento videos didáticos da professora Angela e do Prof. Procópio para complementar. Assistam os videos! Neles, além do conteúdo didático, há inúmeras curiosidades matemáticas.
(Dica: O video da Prof. Angela é um resumo de tudo, e os videos do prof. Procópio são mais detalhados e os conjuntos são individualmente divididos em cada video).
Conjuntos Numéricos e a Reta Numérica - Professora Angela
Conjunto dos Números Naturais
Conjunto dos Números Inteiros
Conjunto dos Números Racionais
Conjunto dos Números Irracionais
Conjunto dos Números Reais
ATIVIDADES
Questão 1
A soma entre os 10 sucessores de um número natural é igual a 155. Que número natural é esse?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Questão 2
A respeito dos conjuntos numéricos, de suas definições e das relações de inclusão existentes entre eles, assinale a alternativa verdadeira:
a) O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos.
b) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e negativos.
c) O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números reais.
d) O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
e) O conjunto dos números reais é disjunto do conjunto dos números racionais.
Questão 3
A respeito dos elementos que pertencem a cada conjunto numérico, assinale a alternativa correta entre as afirmações a seguir.
a) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e pelo zero.
b) O conjunto dos números reais contém a intersecção entre os conjuntos dos números racionais e irracionais.
c) O conjunto dos números racionais contém, entre outros, todas as dízimas periódicas.
d) O conjunto dos números irracionais contém, entre outros, todas as raízes.
e) O conjunto dos números irracionais é formado pela união entre o conjunto dos números reais e racionais.
Questão 4
A soma entre 7 números ímpares consecutivos é igual a 301. Qual é o primeiro desses números?
a) 37
b) 47
c) 57
d) 20
e) 30
Questão 1
A soma entre os 10 sucessores de um número natural é igual a 155. Que número natural é esse?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Questão 2
A respeito dos conjuntos numéricos, de suas definições e das relações de inclusão existentes entre eles, assinale a alternativa verdadeira:
a) O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos.
b) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e negativos.
c) O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números reais.
d) O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
e) O conjunto dos números reais é disjunto do conjunto dos números racionais.
Questão 3
A respeito dos elementos que pertencem a cada conjunto numérico, assinale a alternativa correta entre as afirmações a seguir.
a) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e pelo zero.
b) O conjunto dos números reais contém a intersecção entre os conjuntos dos números racionais e irracionais.
c) O conjunto dos números racionais contém, entre outros, todas as dízimas periódicas.
d) O conjunto dos números irracionais contém, entre outros, todas as raízes.
e) O conjunto dos números irracionais é formado pela união entre o conjunto dos números reais e racionais.
Questão 4
A soma entre 7 números ímpares consecutivos é igual a 301. Qual é o primeiro desses números?
a) 37
b) 47
c) 57
d) 20
e) 30
Respostas
Resposta Questão 1
O sucessor de um número natural é obtido somando uma unidade a ele. Supondo que esse número natural é x, a soma entre seus 10 sucessores é:
x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 + x + 7 + x + 8 + x + 9 + x + 10 = 155
Observe que a proposta é encontrar a soma entre os sucessores do número – portanto, ele não entra nessa soma. Resolvendo essa equação, teremos:
10x + 55 = 155
10x = 155 – 55
10x = 100
x = 100
10
x = 10
O número natural procurado é 10.
Alternativa E
Resposta Questão 2
a) Incorreta!
O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos e pelo zero, que é inteiro nulo. Alguns autores não consideram o zero um número natural, mas nesses exercícios nós assim o consideramos.
b) Incorreta!
O conjunto dos números inteiros é formado pelos inteiros positivos e negativos e pelo zero, que é nulo.
c) Incorreta!
É o conjunto dos números reais que contém o conjunto dos números racionais, e não o contrário.
d) Correta!
e) Incorreta!
Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. Entretanto, o conjunto dos números reais contém o conjunto dos racionais. Logo, todo racional também é real.
Alternativa D
Resposta Questão 3
a) Incorreta!
O conjunto dos inteiros é formado pelos naturais, que já contêm o zero, e pelos inteiros negativos.
b) Incorreta!
O conjunto dos reais é a união entre os conjuntos dos racionais e irracionais. A intersecção entre esses dois conjuntos é vazia.
c) Correta!
d) Incorreta!
Qualquer raiz exata não é irracional. Portanto, esse conjunto não contém todas as raízes.
e) Incorreta!
É o conjunto dos reais que é formado pela união entre racionais e irracionais.
Alternativa C
Resposta Questão 4
Para que um número seja ímpar, é necessário que ele se enquadre na seguinte definição:
2n + 1, onde n é natural.
Para encontrar o sucessor de um número ímpar, basta somar a ele 2 unidades. Dessa maneira, a soma de 7 números ímpares consecutivos, cujo resultado é 301, pode ser representada por:
2n + 1 +
2n + 1 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 301
Resolvendo a equação teremos:
14n + 49 = 301
14n = 301 – 49
14n = 252
n = 252
14
n = 18
O primeiro número ímpar que foi somado está representado por 2n + 1. Portanto:
2n + 1 = 2·18 + 1 = 36 + 1 = 37
Alternativa A
Resposta Questão 1
O sucessor de um número natural é obtido somando uma unidade a ele. Supondo que esse número natural é x, a soma entre seus 10 sucessores é:
x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 + x + 7 + x + 8 + x + 9 + x + 10 = 155
Observe que a proposta é encontrar a soma entre os sucessores do número – portanto, ele não entra nessa soma. Resolvendo essa equação, teremos:
10x + 55 = 155
10x = 155 – 55
10x = 100
x = 100
10
10
x = 10
O número natural procurado é 10.
Alternativa E
Resposta Questão 2
a) Incorreta!
O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos e pelo zero, que é inteiro nulo. Alguns autores não consideram o zero um número natural, mas nesses exercícios nós assim o consideramos.
b) Incorreta!
O conjunto dos números inteiros é formado pelos inteiros positivos e negativos e pelo zero, que é nulo.
c) Incorreta!
É o conjunto dos números reais que contém o conjunto dos números racionais, e não o contrário.
d) Correta!
e) Incorreta!
Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. Entretanto, o conjunto dos números reais contém o conjunto dos racionais. Logo, todo racional também é real.
Alternativa D
Resposta Questão 3
a) Incorreta!
O conjunto dos inteiros é formado pelos naturais, que já contêm o zero, e pelos inteiros negativos.
b) Incorreta!
O conjunto dos reais é a união entre os conjuntos dos racionais e irracionais. A intersecção entre esses dois conjuntos é vazia.
c) Correta!
d) Incorreta!
Qualquer raiz exata não é irracional. Portanto, esse conjunto não contém todas as raízes.
e) Incorreta!
É o conjunto dos reais que é formado pela união entre racionais e irracionais.
Alternativa C
Resposta Questão 4
Para que um número seja ímpar, é necessário que ele se enquadre na seguinte definição:
2n + 1, onde n é natural.
Para encontrar o sucessor de um número ímpar, basta somar a ele 2 unidades. Dessa maneira, a soma de 7 números ímpares consecutivos, cujo resultado é 301, pode ser representada por:
2n + 1 +
2n + 1 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 301
Resolvendo a equação teremos:
14n + 49 = 301
14n = 301 – 49
14n = 252
n = 252
14
14
n = 18
O primeiro número ímpar que foi somado está representado por 2n + 1. Portanto:
2n + 1 = 2·18 + 1 = 36 + 1 = 37
Alternativa A
Não deixem de praticar com as atividades nos vídeos.
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